Soal Post Test Kelas 8
📌 POST-TEST MATEMATIKA: POLA, BARISAN, DAN DERET
Mata Pelajaran: Matematika
Materi: Pola, Barisan & Deret
Bentuk Soal: 15 Soal Uraian (Essay)
Fase / Kelas: Fase D / Kelas VIII C dan D
Waktu Pengerjaan: 60 Menit
Nama Guru: Nadia Eka Putri, S.Pd
📖 Adab Evaluasi & Nilai Kejujuran
1. Awali dengan Niat Jernih & Doa:
Kerjakan post-test ini dengan membaca Bismillah. Niatkan menuntut ilmu untuk melatih ketelitian akal yang dikaruniakan oleh Allah SWT.
2. Nilai Kejujuran (Ash-Shidq) & Ketelitian:
Pola bilangan mengajarkan kita bahwa alam semesta diciptakan Allah dengan keteraturan yang presisi (sunnatullah). Mengerjakan ujian dengan jujur melatih integritas diri dan mendatangkan keberkahan ilmu.
📝 Lembar Soal Post-Test (15 Soal Uraian)
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan menyertakan langkah-langkah pengerjaannya secara rinci!
-
Pola BilanganPerhatikan barisan bilangan berikut: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
Tentukan dua suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut! -
Pola Bilangan BertingkatDiketahui barisan bilangan: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$
Tentukan suku ke-$7$ dari barisan tersebut! -
Rumus Suku Ke-nSuatu barisan bilangan memiliki pola $5, 8, 11, 14, 17, \dots$
Tentukan rumus suku ke-$n$ ($U_n$) dari barisan tersebut! -
Rumus Suku Ke-nSebuah barisan memiliki rumus suku ke-$n$ yang dinyatakan dengan $U_n = n^2 + 3n - 2$.
Hitunglah nilai dari suku ke-$8$ ($U_8$)! -
Aplikasi Pola Konfigurasi ObjekDalam sebuah pertunjukan, kursi disusun melingkar/berlapis. Baris pertama berisi $12$ kursi, baris kedua $16$ kursi, baris ketiga $20$ kursi, dan seterusnya bertambah secara tetap.
Tentukan rumus umum banyaknya kursi pada baris ke-$n$! -
Barisan AritmatikaDiketahui barisan aritmatika: $7, 12, 17, 22, \dots$
Tentukan suku ke-$25$ ($U_{25}$) dari barisan tersebut! -
Barisan AritmatikaSuatu barisan aritmatika memiliki suku pertama $a = 4$ dan beda $b = 6$.
Jika suku ke-$n$ ($U_n$) adalah $124$, tentukan nilai $n$ (banyaknya suku)! -
Barisan AritmatikaDari suatu barisan aritmatika, diketahui suku ke-$3$ adalah $15$ dan suku ke-$8$ adalah $35$.
Tentukan suku ke-$20$ ($U_{20}$) barisan tersebut! -
Barisan Aritmatika (Kontekstual)Seorang pengusaha UMKM menabung setiap bulan. Pada bulan pertama ia menabung $\text{Rp}100.000$, bulan kedua $\text{Rp}120.000$, bulan ketiga $\text{Rp}140.000$, dan seterusnya dengan penambahan tetap.
Berapakah besar tabungan pengusaha tersebut khusus pada bulan ke-$12$? -
Deret AritmatikaHitunglah jumlah $20$ suku pertama ($S_{20}$) dari deret aritmatika: $5 + 9 + 13 + 17 + \dots$
-
Deret AritmatikaDiketahui deret aritmatika dengan $U_1 = 6$ dan $U_{10} = 42$.
Hitunglah jumlah $10$ suku pertama ($S_{10}$) dari deret tersebut! -
Deret Aritmatika (HOTS)Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmatika dirumuskan dengan $S_n = 2n^2 + 3n$.
Tentukan nilai dari suku ke-$6$ ($U_6$) deret tersebut! -
Barisan GeometriDiketahui barisan geometri: $3, 6, 12, 24, \dots$
Tentukan rasio ($r$) dan suku ke-$7$ ($U_7$) dari barisan tersebut! -
Barisan GeometriSuatu barisan geometri memiliki suku pertama $a = 162$ dan rasio $r = \frac{1}{3}$.
Tentukan suku ke-$5$ ($U_5$) dari barisan geometri tersebut! -
Barisan Geometri (HOTS)Suku ke-$2$ dari suatu barisan geometri adalah $10$ dan suku ke-$5$ adalah $80$.
Tentukan suku ke-$8$ ($U_8$) dari barisan geometri tersebut!
🔑 Kunci Jawaban & Pembahasan Lengkap
Klik pada masing-masing nomor soal di bawah ini untuk menampilkan pembahasan rinci:
Pembahasan Soal Nomor 1
Analisis Pola:
Barisan: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
Beda antar suku ($b$) = $7 - 3 = 4$.
Pola bertambah $+4$ secara konsisten.
• Suku ke-6 = $19 + 4 = 23$
• Suku ke-7 = $23 + 4 = 27$
Jawaban Akhir: Dua suku berikutnya adalah $23$ dan $27$.
Barisan: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
Beda antar suku ($b$) = $7 - 3 = 4$.
Pola bertambah $+4$ secara konsisten.
• Suku ke-6 = $19 + 4 = 23$
• Suku ke-7 = $23 + 4 = 27$
Jawaban Akhir: Dua suku berikutnya adalah $23$ dan $27$.
Pembahasan Soal Nomor 2
Analisis Pola Bertingkat:
Barisan: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$
Beda Tingkat 1: $+3, +5, +7, +9, \dots$ (bertambah $+2$ pada beda).
Atau menggunakan pola $U_n = n^2 + 1$:
• $U_1 = 1^2 + 1 = 2$
• $U_2 = 2^2 + 1 = 5$
• $U_3 = 3^2 + 1 = 10$
Maka untuk suku ke-7 ($U_7$):
$$U_7 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$7$ adalah $50$.
Barisan: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$
Beda Tingkat 1: $+3, +5, +7, +9, \dots$ (bertambah $+2$ pada beda).
Atau menggunakan pola $U_n = n^2 + 1$:
• $U_1 = 1^2 + 1 = 2$
• $U_2 = 2^2 + 1 = 5$
• $U_3 = 3^2 + 1 = 10$
Maka untuk suku ke-7 ($U_7$):
$$U_7 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$7$ adalah $50$.
Pembahasan Soal Nomor 3
Langkah Penyelesaian:
Barisan: $5, 8, 11, 14, 17, \dots$
Suku pertama ($a$) = $5$
Beda ($b$) = $8 - 5 = 3$
Gunakan rumus barisan aritmatika $U_n = a + (n - 1)b$:
$$U_n = 5 + (n - 1)3$$ $$U_n = 5 + 3n - 3$$ $$U_n = 3n + 2$$
Jawaban Akhir: Rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = 3n + 2$.
Barisan: $5, 8, 11, 14, 17, \dots$
Suku pertama ($a$) = $5$
Beda ($b$) = $8 - 5 = 3$
Gunakan rumus barisan aritmatika $U_n = a + (n - 1)b$:
$$U_n = 5 + (n - 1)3$$ $$U_n = 5 + 3n - 3$$ $$U_n = 3n + 2$$
Jawaban Akhir: Rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = 3n + 2$.
Pembahasan Soal Nomor 4
Langkah Penyelesaian:
Diketahui rumus $U_n = n^2 + 3n - 2$.
Substitusi nilai $n = 8$:
$$U_8 = (8)^2 + 3(8) - 2$$ $$U_8 = 64 + 24 - 2$$ $$U_8 = 88 - 2 = 86$$
Jawaban Akhir: Nilai suku ke-$8$ adalah $86$.
Diketahui rumus $U_n = n^2 + 3n - 2$.
Substitusi nilai $n = 8$:
$$U_8 = (8)^2 + 3(8) - 2$$ $$U_8 = 64 + 24 - 2$$ $$U_8 = 88 - 2 = 86$$
Jawaban Akhir: Nilai suku ke-$8$ adalah $86$.
Pembahasan Soal Nomor 5
Langkah Penyelesaian:
Barisan susunan kursi: $12, 16, 20, \dots$
• Suku pertama ($a$) = $12$
• Beda ($b$) = $16 - 12 = 4$
Substitusi ke rumus $U_n = a + (n - 1)b$:
$$U_n = 12 + (n - 1)4$$ $$U_n = 12 + 4n - 4$$ $$U_n = 4n + 8$$
Jawaban Akhir: Rumus umum banyaknya kursi adalah $U_n = 4n + 8$.
Barisan susunan kursi: $12, 16, 20, \dots$
• Suku pertama ($a$) = $12$
• Beda ($b$) = $16 - 12 = 4$
Substitusi ke rumus $U_n = a + (n - 1)b$:
$$U_n = 12 + (n - 1)4$$ $$U_n = 12 + 4n - 4$$ $$U_n = 4n + 8$$
Jawaban Akhir: Rumus umum banyaknya kursi adalah $U_n = 4n + 8$.
Pembahasan Soal Nomor 6
Langkah Penyelesaian:
Barisan: $7, 12, 17, 22, \dots$
• $a = 7$
• $b = 12 - 7 = 5$
Menghitung $U_{25}$:
$$U_{25} = a + (25 - 1)b$$ $$U_{25} = 7 + (24)(5)$$ $$U_{25} = 7 + 120 = 127$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$25$ adalah $127$.
Barisan: $7, 12, 17, 22, \dots$
• $a = 7$
• $b = 12 - 7 = 5$
Menghitung $U_{25}$:
$$U_{25} = a + (25 - 1)b$$ $$U_{25} = 7 + (24)(5)$$ $$U_{25} = 7 + 120 = 127$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$25$ adalah $127$.
Pembahasan Soal Nomor 7
Langkah Penyelesaian:
Diketahui: $a = 4$, $b = 6$, dan $U_n = 124$.
$$U_n = a + (n - 1)b$$ $$124 = 4 + (n - 1)6$$ $$124 - 4 = 6(n - 1)$$ $$120 = 6(n - 1)$$ $$n - 1 = \frac{120}{6} = 20$$ $$n = 20 + 1 = 21$$
Jawaban Akhir: Banyaknya suku ($n$) adalah $21$.
Diketahui: $a = 4$, $b = 6$, dan $U_n = 124$.
$$U_n = a + (n - 1)b$$ $$124 = 4 + (n - 1)6$$ $$124 - 4 = 6(n - 1)$$ $$120 = 6(n - 1)$$ $$n - 1 = \frac{120}{6} = 20$$ $$n = 20 + 1 = 21$$
Jawaban Akhir: Banyaknya suku ($n$) adalah $21$.
Pembahasan Soal Nomor 8
Langkah Penyelesaian:
• $U_3 = a + 2b = 15$ ... (Persamaan 1)
• $U_8 = a + 7b = 35$ ... (Persamaan 2)
Eliminasi Persamaan (2) dan (1):
$$(a + 7b) - (a + 2b) = 35 - 15$$ $$5b = 20 \implies b = 4$$
Substitusi $b = 4$ ke Persamaan (1):
$$a + 2(4) = 15 \implies a + 8 = 15 \implies a = 7$$
Hitung $U_{20}$:
$$U_{20} = a + 19b = 7 + 19(4) = 7 + 76 = 83$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$20$ adalah $83$.
• $U_3 = a + 2b = 15$ ... (Persamaan 1)
• $U_8 = a + 7b = 35$ ... (Persamaan 2)
Eliminasi Persamaan (2) dan (1):
$$(a + 7b) - (a + 2b) = 35 - 15$$ $$5b = 20 \implies b = 4$$
Substitusi $b = 4$ ke Persamaan (1):
$$a + 2(4) = 15 \implies a + 8 = 15 \implies a = 7$$
Hitung $U_{20}$:
$$U_{20} = a + 19b = 7 + 19(4) = 7 + 76 = 83$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$20$ adalah $83$.
Pembahasan Soal Nomor 9
Langkah Penyelesaian:
Tabungan membentuk barisan aritmatika:
• Bulan ke-1 ($a$) = $100.000$
• Beda ($b$) = $120.000 - 100.000 = 20.000$
Hitung tabungan khusus pada bulan ke-12 ($U_{12}$):
$$U_{12} = a + (12 - 1)b$$ $$U_{12} = 100.000 + 11(20.000)$$ $$U_{12} = 100.000 + 220.000 = 320.000$$
Jawaban Akhir: Tabungan pada bulan ke-$12$ adalah $\text{Rp}320.000$.
Tabungan membentuk barisan aritmatika:
• Bulan ke-1 ($a$) = $100.000$
• Beda ($b$) = $120.000 - 100.000 = 20.000$
Hitung tabungan khusus pada bulan ke-12 ($U_{12}$):
$$U_{12} = a + (12 - 1)b$$ $$U_{12} = 100.000 + 11(20.000)$$ $$U_{12} = 100.000 + 220.000 = 320.000$$
Jawaban Akhir: Tabungan pada bulan ke-$12$ adalah $\text{Rp}320.000$.
Pembahasan Soal Nomor 10
Langkah Penyelesaian:
Deret: $5 + 9 + 13 + 17 + \dots$
• $a = 5$, $b = 9 - 5 = 4$, $n = 20$
Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)b]$:
$$S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)4]$$ $$S_{20} = 10[10 + (19)(4)]$$ $$S_{20} = 10[10 + 76]$$ $$S_{20} = 10[86] = 860$$
Jawaban Akhir: Jumlah $20$ suku pertama adalah $860$.
Deret: $5 + 9 + 13 + 17 + \dots$
• $a = 5$, $b = 9 - 5 = 4$, $n = 20$
Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)b]$:
$$S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)4]$$ $$S_{20} = 10[10 + (19)(4)]$$ $$S_{20} = 10[10 + 76]$$ $$S_{20} = 10[86] = 860$$
Jawaban Akhir: Jumlah $20$ suku pertama adalah $860$.
Pembahasan Soal Nomor 11
Langkah Penyelesaian:
Diketahui: $a = U_1 = 6$, $U_{10} = 42$, $n = 10$.
Gunakan rumus praktis deret aritmatika $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$:
$$S_{10} = \frac{10}{2}(a + U_{10})$$ $$S_{10} = 5(6 + 42)$$ $$S_{10} = 5(48) = 240$$
Jawaban Akhir: Jumlah $10$ suku pertama adalah $240$.
Diketahui: $a = U_1 = 6$, $U_{10} = 42$, $n = 10$.
Gunakan rumus praktis deret aritmatika $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$:
$$S_{10} = \frac{10}{2}(a + U_{10})$$ $$S_{10} = 5(6 + 42)$$ $$S_{10} = 5(48) = 240$$
Jawaban Akhir: Jumlah $10$ suku pertama adalah $240$.
Pembahasan Soal Nomor 12
Langkah Penyelesaian (Konsep Hubungan $S_n$ dan $U_n$):
Gunakan rumus $U_n = S_n - S_{n-1}$.
Maka untuk mencari $U_6$:
$$U_6 = S_6 - S_5$$
Hitung $S_6$ ($n = 6$):
$$S_6 = 2(6)^2 + 3(6) = 2(36) + 18 = 72 + 18 = 90$$
Hitung $S_5$ ($n = 5$):
$$S_5 = 2(5)^2 + 3(5) = 2(25) + 15 = 50 + 15 = 65$$
Maka $U_6$:
$$U_6 = 90 - 65 = 25$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$6$ ($U_6$) bernilai $25$.
Gunakan rumus $U_n = S_n - S_{n-1}$.
Maka untuk mencari $U_6$:
$$U_6 = S_6 - S_5$$
Hitung $S_6$ ($n = 6$):
$$S_6 = 2(6)^2 + 3(6) = 2(36) + 18 = 72 + 18 = 90$$
Hitung $S_5$ ($n = 5$):
$$S_5 = 2(5)^2 + 3(5) = 2(25) + 15 = 50 + 15 = 65$$
Maka $U_6$:
$$U_6 = 90 - 65 = 25$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$6$ ($U_6$) bernilai $25$.
Pembahasan Soal Nomor 13
Langkah Penyelesaian:
Barisan geometri: $3, 6, 12, 24, \dots$
• Suku pertama ($a$) = $3$
• Rasio ($r$) = $\frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} = 2$
Gunakan rumus $U_n = a \cdot r^{n-1}$ untuk mencari $U_7$:
$$U_7 = 3 \cdot 2^{7-1}$$ $$U_7 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$$
Jawaban Akhir: Rasio $r = 2$ dan suku ke-$7$ adalah $192$.
Barisan geometri: $3, 6, 12, 24, \dots$
• Suku pertama ($a$) = $3$
• Rasio ($r$) = $\frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} = 2$
Gunakan rumus $U_n = a \cdot r^{n-1}$ untuk mencari $U_7$:
$$U_7 = 3 \cdot 2^{7-1}$$ $$U_7 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$$
Jawaban Akhir: Rasio $r = 2$ dan suku ke-$7$ adalah $192$.
Pembahasan Soal Nomor 14
Langkah Penyelesaian:
Diketahui $a = 162$ dan $r = \frac{1}{3}$.
Hitung suku ke-$5$ ($U_5$):
$$U_5 = a \cdot r^{5-1}$$ $$U_5 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4$$ $$U_5 = 162 \cdot \frac{1}{81}$$ $$U_5 = \frac{162}{81} = 2$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$5$ adalah $2$.
Diketahui $a = 162$ dan $r = \frac{1}{3}$.
Hitung suku ke-$5$ ($U_5$):
$$U_5 = a \cdot r^{5-1}$$ $$U_5 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4$$ $$U_5 = 162 \cdot \frac{1}{81}$$ $$U_5 = \frac{162}{81} = 2$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$5$ adalah $2$.
Pembahasan Soal Nomor 15
Langkah Penyelesaian:
• $U_2 = a \cdot r = 10$ ... (Persamaan 1)
• $U_5 = a \cdot r^4 = 80$ ... (Persamaan 2)
Bagi Persamaan (2) dengan Persamaan (1):
$$\frac{a \cdot r^4}{a \cdot r} = \frac{80}{10}$$ $$r^3 = 8 \implies r = \sqrt[3]{8} = 2$$
Substitusi $r = 2$ ke Persamaan (1):
$$a \cdot 2 = 10 \implies a = 5$$
Hitung suku ke-$8$ ($U_8$):
$$U_8 = a \cdot r^{8-1} = 5 \cdot 2^7$$ $$U_8 = 5 \cdot 128 = 640$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$8$ adalah $640$.
• $U_2 = a \cdot r = 10$ ... (Persamaan 1)
• $U_5 = a \cdot r^4 = 80$ ... (Persamaan 2)
Bagi Persamaan (2) dengan Persamaan (1):
$$\frac{a \cdot r^4}{a \cdot r} = \frac{80}{10}$$ $$r^3 = 8 \implies r = \sqrt[3]{8} = 2$$
Substitusi $r = 2$ ke Persamaan (1):
$$a \cdot 2 = 10 \implies a = 5$$
Hitung suku ke-$8$ ($U_8$):
$$U_8 = a \cdot r^{8-1} = 5 \cdot 2^7$$ $$U_8 = 5 \cdot 128 = 640$$
Jawaban Akhir: Suku ke-$8$ adalah $640$.
Komentar
Posting Komentar