Relasi dan Fungsi

Materi Utama: Relasi dan Fungsi

Nama Guru Nadia Eka Putri, S.Pd

Mata Pelajaran Matematika

Hari / Tanggal Jumat, 28 Agustus 2026

Fase / Kelas Fase D / Kelas VIII B (Delapan)

📌 Capaian Pembelajaran (CP)

Di akhir Fase D, peserta didik dapat memahami relasi dan fungsi (domain, kodomain, range) serta menyajikannya dalam bentuk diagram panah, tabel, himpunan pasangan berurutan, dan grafik pada bidang Kartesius. Peserta didik juga dapat memodelkan dan menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari menggunakan konsep relasi dan fungsi.

🎯 Tujuan Pembelajaran Integratif

Melalui pendekatan pembelajaran berorientasi pada makna, kegembiraan, dan kesadaran diri, siswa diharapkan mampu:

💡 Meaningful (Bermakna)

Memahami bahwa relasi dan fungsi adalah pola keteraturan yang menghubungkan dua himpunan, serta mampu mengaplikasikannya dalam memodelkan tarif transportasi, pengelompokan data, dan pola aturan kehidupan.

🎉 Joyful (Menyenangkan)

Menemukan pasangan relasi melalui permainan interaktif kelompok, eksplorasi media visual, serta eksperimen menyusun himpunan pasangan berurutan berbasis minat olahraga/hobi peserta didik.

🧘 Mindful (Penuh Kesadaran)

Merefleksikan pentingnya keakuratan dalam memasangkan anggota himpunan, melatih ketelitian diri, dan menyadari bahwa setiap input tindakan dalam hidup memiliki hasil/dampak yang teratur.

🛣️ Alur Tujuan Pembelajaran (ATP)

Memahami konsep himpunan, domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil). Menjelaskan pengertian relasi dan menyajikannya dalam 3 cara (diagram panah, koordinat Kartesius, himpunan pasangan berurutan). Memahami syarat khusus fungsi/pemetaan dan membedakannya dengan relasi biasa. Menghitung banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dengan rumus $n(B)^{n(A)}$. Menentukan nilai fungsi $f(x) = ax + b$ jika nilai variabel $x$ atau bayangannya diketahui. Memodelkan dan menyelesaikan masalah kontekstual sehari-hari menggunakan rumus fungsi linear.

🌍 Relasi dan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

• Sistem Tarif Transportasi: Perhitungan argo taksi atau tarif kereta api berbasis jarak: $f(x) = 100x + 3000$ (dimana $x$ adalah jumlah stasiun/km).
• Menu Restoran dan Harga: Setiap makanan pada menu dipasangkan dengan tepat satu harga kasir (Konsep Fungsi).
• Nomor Induk Siswa (NISN) / NIK: Setiap siswa memiliki tepat satu NISN unik (Korespondensi Satu-Satu).
• Perencanaan Keuangan: Menghitung total pengeluaran berdasarkan durasi atau volume barang yang dibeli.

📖 Integrasi Adab & Kebesaran Allah SWT

Konsep relasi dan fungsi menunjukkan keteraturan sempurna yang telah dirancang oleh Allah SWT di alam semesta:

• Allah Al-Hafiz (Yang Maha Memelihara & Menjaga):

  Allah memelihara seluruh ciptaan-Nya dengan aturan dan takdir yang tepat tanpa ada yang terlewat. Sebagaimana daerah asal (domain) dipelihara pasangan nilainya dalam fungsi, Allah memelihara setiap amal perbuatan manusia untuk diberi balasan yang adil.

• Allah Ar-Rozaq (Yang Maha Pembagi Rezeki):

  Setiap makhluk hidup telah dijamin rezekinya oleh Allah SWT. Hubungan antara hamba dan rezekinya terhubung secara pasti sesuai aturan Ilahi, persis seperti relasi pemetaan yang teratur.

• Allah Al-Khaliq (Yang Maha Pencipta):

  Allah menciptakan segala sesuatu dalam ukuran, fungsi, dan peranan yang presisi. Tidak ada ciptaan Allah yang sia-sia.

إِنَّا كُلَّ شَيْءٍ خَلَقْنَاهُ بِقَدَرٍ

"Sungguh, Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran (takdir/aturan yang presisi)."
(QS. Al-Qamar: 49)

Adab Belajar: Bersikap jujur, teliti dalam berhitung, dan senantiasa bersyukur atas keteraturan fungsi organ tubuh yang diberikan oleh Allah SWT.

🎬 Video Pembelajaran Pendukung

Simak penjelasan konsep relasi, fungsi, penyajian diagram, dan contoh soal kontekstual melalui video berikut:

📚 Ringkasan Materi Lengkap

1. Pengertian Relasi dan Penyajiannya

Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan $A$ dengan anggota-anggota himpunan $B$.

Relasi disajikan dengan 3 cara:

• Diagram Panah
• Diagram Kartesius
• Himpunan Pasangan Berurutan: $\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$

2. Unsur-unsur Utama

• Domain ($D_f$): Daerah asal (himpunan sebelah kiri).
• Kodomain ($K_f$): Daerah kawan (himpunan sebelah kanan).
• Range ($R_f$): Daerah hasil (anggota kodomain yang memiliki pasangan dari domain).

3. Fungsi (Pemetaan)

Fungsi adalah relasi khusus di mana setiap anggota domain $A$ dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain $B$.

Syarat Fungsi:
1. Seluruh anggota domain Wajib memiliki pasangan.
2. Anggota domain TIDAK BOLEH mendua (hanya boleh punya 1 pasangan).

4. Banyaknya Pemetaan yang Mungkin

Jika $n(A)$ adalah jumlah anggota himpunan $A$ dan $n(B)$ adalah jumlah anggota himpunan $B$, maka:

$$\text{Banyaknya pemetaan dari } A \rightarrow B = n(B)^{n(A)}$$ $$\text{Banyaknya pemetaan dari } B \rightarrow A = n(A)^{n(B)}$$

5. Notasi dan Rumus Fungsi

Notasi fungsi yang memetakan $x$ ke $ax + b$ ditulis sebagai $f: x \rightarrow ax + b$, dan rumus fungsinya adalah:

$$f(x) = ax + b$$

Contoh: Untuk $f(x) = 3x + 1$, nilai fungsi saat $x = 2$ adalah $f(2) = 3(2) + 1 = 7$.

📝 Asesmen Pembelajaran (10 Soal)

Soal 1 (LOT)
Diketahui himpunan $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{a, b\}$. Sebutkan daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain) dari relasi tersebut!

Soal 2 (MOT)
Diketahui himpunan $P = \{1, 2, 3, 4\}$ dan $Q = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. Relasi dari $P$ ke $Q$ didefinisikan sebagai "setengah dari". Tuliskan himpunan pasangan berurutannya!

Soal 3 (MOT)
Manakah di antara relasi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan fungsi?
a. $K = \{(1, a), (2, a), (3, a)\ me\}$
b. $L = \{(1, a), (1, b), (2, c)\ me\}$
c. $M = \{(1, a), (2, b), (2, c)\ me\}$

Soal 4 (MOT)
Jika $n(A) = 3$ dan $n(B) = 4$, berapakah banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $A$ ke himpunan $B$?

Soal 5 (MOT)
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 3x - 5$. Hitunglah nilai dari $f(4)$ dan $f(-2)$!

Soal 6 (MOT)
Diketahui fungsi $g(x) = 2x + 7$. Jika nilai $g(a) = 17$, tentukan nilai $a$!

Soal 7 (HOTS) HOTS
Suatu fungsi linear dirumuskan dengan $f(x) = ax + b$. Jika diketahui $f(2) = 7$ dan $f(-1) = 1$, tentukan:
a. Nilai $a$ dan $b$.
b. Rumus fungsinya.
c. Nilai dari $f(5)$.

Soal 8 (HOTS) HOTS
Sebuah perusahaan taksi online memberlakukan tarif awal (buka pintu) sebesar $\text{Rp}8.000,00$ dan tarif per kilometer sebesar $\text{Rp}3.500,00$.
a. Susunlah rumus fungsi tarif taksi $f(x)$ untuk jarak $x$ km!
b. Berapa biaya yang harus dibayar penumpang jika menempuh jarak $12\text{ km}$?

Soal 9 (HOTS) HOTS
Sebuah kereta api lokal memiliki skema tarif berdasarkan jumlah stasiun yang dilalui dengan rumus $f(x) = 1000x + 3000$, di mana $x$ menyatakan jumlah stasiun. Jika seorang penumpang membayar tiket sebesar $\text{Rp}15.000,00$, berapa jumlah stasiun yang ia lalui?

Soal 10 (HOTS) HOTS
Diketahui himpunan $A = \{x \mid 1 < x \le 5, x \in \text{bilangan prima}\}$ dan $B = \{x \mid x \text{ faktor dari } 6\}$. Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $B$ ke himpunan $A$!

📌 Kesimpulan Materi

• Relasi adalah aturan yang menghubungkan dua himpunan tanpa syarat khusus.
• Fungsi (Pemetaan) adalah relasi khusus di mana setiap anggota daerah asal (domain) dipasangkan dengan tepat satu anggota daerah kawan (kodomain).
• Setiap fungsi pasti merupakan relasi, tetapi tidak semua relasi merupakan fungsi.
• Pemodelan fungsi $f(x) = ax + b$ membantu kita memprediksi dan memecahkan berbagai permasalahan nyata berbasis tarif, jarak, dan pemetaan data teratur.

✏️ Catatan Refleksi & Kesimpulan Akhir Pembelajaran (Isi Setelah Mengajar)