Relasi dan Fungsi

Nama Guru: Nadia Eka Putri, S.Pd

Mata Pelajaran: Matematika

Fase / Kelas: D / VIII A dan D

Hari / Tanggal: Senin, 24 Agustus 2026

Materi Utama: Relasi dan Fungsi

Alokasi Waktu: 2 x 40 Menit

📌 Capaian & Tujuan Pembelajaran

Capaian Pembelajaran (CP):
Di akhir fase D, peserta didik dapat memahami relasi dan fungsi (domain, kodomain, range) serta menyajikannya dalam bentuk diagram panah, tabel, himpunan pasangan berurutan, dan grafik. Peserta didik juga dapat membedakan antara relasi dan fungsi serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi linear.

Tujuan Pembelajaran (TP):

• Menjelaskan konsep relasi dan fungsi beserta perbedaannya dengan tepat.
• Menentukan domain, kodomain, dan range dari suatu relasi/fungsi.
• Menyajikan relasi dan fungsi dalam berbagai bentuk (diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram Kartesius, dan rumus fungsi).
• Menghitung nilai fungsi dan menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari terkait fungsi linear.

Alur Tujuan Pembelajaran (ATP):

1. Mengenal konsep dasar relasi dari himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
2. Memahami syarat khusus agar suatu relasi dapat disebut sebagai fungsi.
3. Identifikasi domain, kodomain, dan range pada fungsi.
4. Penyajian fungsi dengan notasi dan rumus fungsi \(f(x) = ax + b\).
5. Penerapan konsep fungsi untuk menyelesaikan soal kontekstual dan HOTS.

🌙 Integrasi Nilai Islam & Keagungan Allah SWT

Matematika bukan sekadar angka, melainkan pola keteraturan ciptaan Allah SWT. Konsep relasi dan fungsi mencerminkan bagaimana Allah mengatur alam semesta ini:

"Sungguh, Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran (takdir)."
(QS. Al-Qamar [54]: 49)

Menghubungkan Materi dengan Asmaul Husna:

• Al-Khaliq (Maha Pencipta) Allah menciptakan setiap manusia dan makhluk hidup dengan pasangan, tugas, serta peran yang spesifik (seperti domain yang memiliki pasangan di kodomain).
• Al-Hafiz (Maha Memelihara) Dalam fungsi, setiap anggota daerah asal (domain) dipastikan memiliki **tepat satu** pasangan. Allah Al-Hafiz memelihara setiap amal perbuatan manusia, tidak ada satu pun yang luput atau tertukar.
• Ar-Rozaq (Maha Pemberi Rezeki) Rezeki setiap makhluk telah terpetakan dengan tepat. Input usaha manusia yang ikhlas ($x$) akan menghasilkan keberkahan ($f(x)$) sesuai takdir Allah Ar-Rozaq.

Adab Siswa: Sebagaimana fungsi yang taat pada aturan memasangkan domain secara tepat satu, siswa hendaknya memiliki adab istiqamah, jujur, serta bertindak sesuai dengan aturan/syariat Allah.

🌍 Relasi & Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep relasi dan fungsi sangat dekat dengan kehidupan kita sehari-hari, antara lain:

• Tarif Transportasi / Ojek Online: Biaya perjalanan ($f(x)$) dihitung berdasarkan jarak tempuh ($x$) ditambah tarif awal. Format rumus: \(f(x) = \text{Tarif Awal} + (\text{Tarif per km} \times x)\).
• Nomor Absen & Siswa: Setiap siswa di kelas hanya memiliki 1 nomor absen unik. Ini contoh **Korespondensi Satu-Satu**.
• Ukuran Sepatu / Paspor: Setiap orang memiliki ukuran sepatu atau nomor induk kependudukan (NIK) yang tepat satu.

🎬 Video Pembelajaran Relasi & Fungsi

Untuk memahami penjelasan materi secara visual, mari tonton video pembelajaran berikut dari channel kejarcita:

Sumber: YouTube kejarcita (https://youtu.be/iBe7hvD5YiY)

📚 Ringkasan Materi Lengkap

1. Pengertian Relasi dan Fungsi

• Relasi: Aturan yang menghubungkan anggota himpunan \(A\) ke anggota himpunan \(B\).
• Fungsi (Pemetaan): Relasi khusus yang memasangkan **setiap** anggota himpunan \(A\) dengan **tepat satu** anggota himpunan \(B\).

Syarat Fungsi dari Himpunan A ke B:

1. Semua anggota himpunan \(A\) (Domain) harus memiliki pasangan.
2. Anggota himpunan \(A\) tidak boleh cabang (tidak boleh memilih lebih dari satu pasangan).

2. Domain, Kodomain, dan Range

• Domain (\(D_f\)): Daerah asal (himpunan sebelah kiri).
• Kodomain (\(K_f\)): Daerah kawan (himpunan sebelah kanan).
• Range (\(R_f\)): Daerah hasil (anggota kodomain yang memiliki pasangan dari domain).

3. Banyaknya Pemetaan yang Mungkin

Jika banyaknya anggota himpunan \(A\) adalah \(n(A) = a\) dan banyaknya anggota himpunan \(B\) adalah \(n(B) = b\), maka:

$$\text{Banyaknya fungsi dari } A \text{ ke } B = b^a$$

$$\text{Banyaknya fungsi dari } B \text{ ke } A = a^b$$

4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear

Notasi fungsi yang memetakan \(x\) ke \(ax + b\) ditulis:

$$f : x \to ax + b$$

Rumus fungsinya adalah:

$$f(x) = ax + b$$

📝 Asesmen Pembelajaran (10 Soal)

Kerjakan soal-soal di bawah ini untuk menguji pemahamanmu!

Soal 1 (Pilihan Ganda)
Diketahui himpunan \(A = \{1, 2, 3\}\) dan \(B = \{a, b\}\). Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) adalah...
A. 6     B. 8     C. 9     D. 12

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
\(n(A) = 3\) dan \(n(B) = 2\).
Banyaknya pemetaan dari \(A\) ke \(B\) \(= n(B)^{n(A)} = 2^3 = 8\).

Soal 2 (Konseptual)
Manakah di antara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan **fungsi**?
P = \(\{(1,a), (2,a), (3,b)\}\)
Q = \(\{(1,a), (1,b), (2,c)\}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: P
Pada set P, setiap anggota domain (1, 2, 3) muncul satu kali (punya tepat 1 pasangan). Pada set Q, angka 1 muncul dua kali (bercabang), sehingga Q bukan fungsi.

Soal 3 (Isian)
Diketahui rumus fungsi \(f(x) = 3x - 5\). Nilai dari \(f(4)\) adalah...

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: 7
Substitusi \(x = 4\) ke rumus fungsi:
\(f(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7\).

Soal 4 (Isian)
Diketahui rumus fungsi \(f(x) = 2x + 1\). Jika \(f(a) = 11\), maka nilai \(a\) adalah...

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: 5
\(f(a) = 2a + 1 = 11\)
\(2a = 11 - 1 \implies 2a = 10 \implies a = 5\).

Soal 5 (Menentukan Range)
Suatu fungsi ditentukan oleh rumus \(f(x) = 5 - 2x\) dengan domain \(D = \{-1, 0, 1, 2\}\). Range (\(R_f\)) dari fungsi tersebut adalah...

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: \(\{7, 5, 3, 1\}\)
\(f(-1) = 5 - 2(-1) = 7\)
\(f(0) = 5 - 2(0) = 5\)
\(f(1) = 5 - 2(1) = 3\)
\(f(2) = 5 - 2(2) = 1\).

Soal 6 (Sistem Persamaan Fungsi) HOTS
Suatu fungsi linear dinyatakan dengan rumus \(f(x) = ax + b\). Jika \(f(2) = 7\) dan \(f(-1) = 1\), tentukan rumus fungsi tersebut!

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: \(f(x) = 2x + 3\)
\(f(2) \implies 2a + b = 7\) ... (1)
\(f(-1) \implies -a + b = 1\) ... (2)
Kurangkan (1) dan (2): \(3a = 6 \implies a = 2\).
Substitusi \(a = 2\) ke (1): \(2(2) + b = 7 \implies b = 3\).
Jadi, rumus fungsinya adalah \(f(x) = 2x + 3\).

Soal 7 (Kontekstual Tarif Kereta)
Tarif perjalanan kereta api api dimodelkan dengan fungsi \(f(x) = 100x + 3.000\), di mana \(x\) adalah jumlah stasiun yang dilewati. Berapakah tarif yang harus dibayar Cita jika ia melewati 10 stasiun?

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: Rp4.000,-
\(f(10) = 100(10) + 3.000 = 1.000 + 3.000 = 4.000\).

Soal 8 (Kontekstual Aplikasi Paket Data) HOTS
Sebuah penyedia layanan internet mengenakan biaya berlangganan tetap sebesar Rp50.000,00 per bulan plus Rp2.000,00 per GB pemakaian data.
a. Tuliskan rumus fungsinya!
b. Jika Ahmad membayar Rp90.000,00 dalam bulan ini, berapa GB data yang telah digunakannya?

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban:
a. Rumus Fungsi: \(f(x) = 2.000x + 50.000\) (dalam Rupiah).
b. \(2.000x + 50.000 = 90.000 \implies 2.000x = 40.000 \implies x = 20\) GB.

Soal 9 (Korespondensi Satu-satu)
Berapa banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan huruf vokal \(A = \{a, e, i, o, u\}\) ke himpunan \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)?

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: 120
\(n(A) = n(B) = 5\).
Banyaknya korespondensi satu-satu \(= 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

Soal 10 (Analisis HOTS & Asmaul Husna) HOTS
Jelaskan secara filosofis dan matematis, mengapa relasi *"Menjadi hamba dari Tuhan"* jika dimodelkan dari himpunan Manusia ke himpunan Tuhan termasuk bentuk **Fungsi**, dan hubungkan dengan sifat Allah **Al-Hafiz**!

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban:
Secara matematis, setiap manusia (domain) pasti memiliki satu Pencipta dan Sembahan yaitu Allah SWT (kodomain), dan manusia tidak boleh mempersekutukan Allah dengan sesembahan lain (tidak bercabang). Ini memenuhi syarat fungsi.
Hubungannya dengan sifat **Al-Hafiz**: Allah Maha Memelihara, menjaga setiap hubungan ikatan hamba-Nya secara adil, di mana tidak ada amal yang tertukar atau tidak terbalaskan.

📌 Kesimpulan Materi

1. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan Fungsi adalah relasi khusus di mana setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain.
2. Fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram Kartesius, dan rumus fungsi \(f(x) = ax + b\).
3. Belajar Matematika menyadarkan kita akan keteraturan yang diciptakan oleh Allah SWT melalui sifat-Nya **Al-Khaliq, Al-Hafiz, dan Ar-Rozaq**.